Derivadas Sucessivas e Polinômios de Taylor

Para desenvolver uma função f(x) em uma série de Taylor, é necessário calcular suas derivadas sucessivas.

A n-ésima derivada de f(x), denotada por f⁽ⁿ⁾(x), é a derivada da (n-1)-ésima derivada de f(x).

Os polinômios de Taylor são aproximações finitas da série de Taylor e são formados somando os primeiros n termos da série.

O polinômio de Taylor de ordem n de uma função f(x) em torno de um ponto a é dado por:

$$ P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \cdot (x - a)^k $$

Onde P_n(x) é o polinômio de Taylor de ordem n, f(k) é a k-ésima derivada de f avaliada em a, e k! é o fatorial de k.

Fórmula Geral da Série de Taylor

A fórmula geral da série de Taylor de uma função f(x) em torno de um ponto a é expressa como:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \cdot (x - a)^n $$