Definição e Relação com Série de Taylor

A Série de Maclaurin é um caso especial da Série de Taylor, em que o ponto em torno do qual a série é expandida é a = 0.

Assim, a Série de Maclaurin de uma função f(x) é dada por:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x^n $$

Isso significa que a Série de Maclaurin utiliza as derivadas de f(x) avaliadas em x = 0.

A relação com a Série de Taylor é direta, pois a Série de Maclaurin é simplesmente a Série de Taylor centrada em a = 0:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} \cdot (x - a)^n $$

Quando a = 0, a fórmula acima se reduz à definição da Série de Maclaurin.

Exemplos Clássicos

1. Série de Maclaurin de e^x: Para f(x) = e^x, todas as derivadas de f são iguais a e^x, e f⁽ⁿ⁾(0) = 1. Assim, a Série de Maclaurin para e^x é:

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n $$

$$ e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots $$