• f⁽ⁿ⁾(x) é a n-ésima derivada de f avaliada no ponto a.

• n! é o fatorial de n.

• (x - a)ⁿ é a diferença (x - a) elevada à potência n.

A série de Taylor fornece uma forma de aproximar funções através de polinômios de grau crescente, onde cada termo adicional fornece uma aproximação mais precisa da função original, desde que a série converja para f(x).

Série de Taylor de e^x

Como exemplo, vamos desenvolver a série de Taylor da função f(x) = e^x em torno do ponto a = 0. Primeiramente, calculamos as derivadas sucessivas de e^x:

f⁽¹⁾(x) = e^x

f⁽ⁿ⁾(x) = e^x

Todas as derivadas de e^x são iguais a e^x. Avaliando essas derivadas em x = 0:

f⁽¹⁾(0) = e⁰ = 1

f⁽ⁿ⁾(0) = e⁰ = 1

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n $$

Isso resulta na série de Taylor para e^x:

$$ e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots $$