Alternativamente, também podemos obter R com a fórmula:

$$ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{C_n}{C_{n+1}} \right| $$

Se R = 0, a série só converge em x = a. Se R = ∞, a série converge para todos os x.

Dentro do intervalo ]a-R, a+R[, a série converge absolutamente.

Nos extremos do intervalo a-R e a+R, a convergência deve ser testada separadamente.

Para verificar a convergência de séries de potências, usamos frequentemente o Teste da Razão e o Teste da Raiz.

Teste da Razão

O Teste da Razão é baseado na análise do limite da razão entre termos consecutivos da série. Para uma série Σ(C_n), calculamos:

$$ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{C_{n+1}}{C_n} \right| $$

• Se L < 1, a série converge absolutamente.

• Se L > 1, a série diverge.

• Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Teste da Raiz

O Teste da Raiz examina o limite da raiz enésima dos termos da série. Para a série Σ(C_n), calculamos:

$$ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|C_n|} $$

• Se L < 1, a série converge absolutamente.

• Se L > 1, a série diverge.

• Se L = 1, o teste é inconclusivo.