Para qualquer valor de x, esta série converge absolutamente, pois:

$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^n}{n!}} \right| $$

$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{n+1} \right| = 0 $$

Assim, a série de Taylor de e^x converge para e^x em todo ℝ.

2. Convergência da Série de Taylor de sen(x): A série de Taylor de sen(x) em torno de a = 0 é:

$$ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!} $$

Agora, utiizando-se o critério da raiz, obtém-se:

$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{\left| \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \right|} = 0 $$

Portanto, a série converge absolutamente para todos os x.

3. Divergência da Série de Taylor de ln(1+x) para x ≥ 1: A série de Taylor de ln(1+x) em torno de a = 0 é:

$$ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot x^n $$

Para x ≥ 1, a série não converge. Por exemplo, para x = 1:

$$ \ln(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} $$

Esta é a série harmônica alternada, que converge, mas não é igual a ln(2) fora do intervalo |x| < 1. Portanto, para |x| ≥ 1, a série diverge.