Teorema de Taylor com o Resto de Lagrange

O Teorema de Taylor com o Resto de Lagrange fornece uma expressão para o erro ou resto ao aproximar uma função f(x) por um polinômio de Taylor de ordem n.

Abaixo podemos ver a fórmula para o resto, que é dada por:

$$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} \cdot (x - a)^{n+1} $$

Onde c é um ponto entre a e x. Esta expressão mostra que o erro de truncamento depende da (n+1)-ésima derivada da função e da distância (x-a).

O Teorema de Taylor com o Resto de Lagrange garante que, se a função f é suficientemente diferenciável, a soma do polinômio de Taylor e o resto de Lagrange fornecerá uma aproximação exata para f(x).

Exemplos de Convergência e Divergência

1. Convergência da Série de Taylor de e^x: A função e^x possui uma série de Taylor em torno de a = 0:

$$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$