Equações Diferenciais Separáveis

Equações diferenciais separáveis são aquelas que podem ser escritas na forma:

$$ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $$

Para resolver uma equação separável, seguimos os passos abaixo:

1. Separar as variáveis: $$ \frac{1}{h(y)} \, dy = g(x) \, dx $$ 2. Integrar ambos os lados: $$ \int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx $$

3. Resolver as integrais para encontrar a solução geral: $$ H(y) = G(x) + C $$

Onde H(y) e G(x) são as primitivas de ¹/_h(y) e g(x), respectivamente, e C é a constante de integração.

Equações Lineares de 1ª Ordem

Uma equação diferencial linear de primeira ordem tem a forma:

$$ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) $$

Para resolver, usamos o fator integrante μ(x), que é dado por: $$ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} $$

Multiplicamos ambos os lados da equação diferencial por μ(x): $$ \mu(x) \frac{dy}{dx} + \mu(x) P(x) y = \mu(x) Q(x) $$ Isso transforma a equação em: $$ \frac{d}{dx} \left( \mu(x) y \right) = \mu(x) Q(x) $$