EDOs Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes

Equações diferenciais de segunda ordem lineares homogêneas com coeficientes constantes têm a forma:

$$ a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 $$

Para resolver esta equação, assumimos uma solução da forma y = e^r.x. Substituindo na equação diferencial, obtemos a equação característica:

$$ ar^2 + br + c = 0 $$

As raízes desta equação característica determinam a forma da solução geral da EDO.

Raízes Reais e Distintas

Se a equação característica tem duas raízes reais e distintas r₁ e r₂, a solução geral é: $$ y(x) = C_1 \cdot e^{r_1 x} + C_2 \cdot e^{r_2 x} $$

Raízes Reais e Iguais

Se a equação característica tem uma raiz real dupla r, a solução geral é: $$ y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{r x} $$

Raízes Complexas Conjugadas

Se a equação característica tem raízes complexas conjugadas r₁ = α + β_i e r₂ = α − β_i, a solução geral é: $$ y(x) = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right) $$