EDOs Lineares Não Homogêneas

Equações diferenciais de segunda ordem lineares não homogêneas têm a forma:

$$ a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = g(x) $$

A solução geral de uma equação não homogênea é a soma da solução geral da equação homogênea correspondente e uma solução particular da equação não homogênea.

Método dos Coeficientes Indeterminados

Para encontrar uma solução particular, assumimos uma forma específica baseada na função g(x) e determinamos os coeficientes.

Exemplo: Resolver (^d²y/_dx²) + y = x: A equação homogênea correspondente é (^d²y/_dx²) + y = 0, cuja solução geral é: $$ y_h(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) $$

Assumimos uma solução particular da forma y_p(x) = Ax + B. Substituindo na equação não homogênea, obtemos: $$ 0 + (Ax + B) = x $$

Comparando coeficientes, temos: A = 1 e B = 0. Portanto, a solução particular é y_p(x) = x. Enquanto isso, a solução geral é: $$ y(x) = y_h(x) + y_p(x) $$ $$ = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) + x $$

Método dos Coeficientes Indeterminados

Este método é usado para encontrar a solução particular de EDOs lineares não homogêneas quando g(x) é uma função polinomial, exponencial, senoidal ou uma combinação dessas.