Teorema de Bayes

Conhecendo o resultado \(A\), o teorema permite “inverter” a condicional e calcular a probabilidade de cada causa \(B_i\):

$$P(B_i\mid A)=\frac{P(A\mid B_i)\,P(B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A\mid B_j)\,P(B_j)}$$

Continuando o exemplo: uma peça saiu defeituosa. Qual a probabilidade de ter vindo da máquina \(M_1\)?

$$P(M_1\mid D)=\frac{0{,}6\cdot 0{,}02}{0{,}032}=0{,}375$$

Apesar de produzir mais peças, \(M_1\) responde por 37,5% dos defeitos.

Terminologia: \(P(B_i)\) é a probabilidade a priori; \(P(A\mid B_i)\) é a verossimilhança; \(P(B_i\mid A)\) é a probabilidade a posteriori.

O teorema mostra como atualizar uma crença após observar uma evidência.