Teorema de Schwartz

Um resultado importante para derivadas de ordem superior é o Teorema de Schwartz (ou Teorema de Clairaut), que afirma que, sob condições de continuidade das derivadas parciais, a ordem de diferenciação não importa:

$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} $$

Derivadas de 2ª Ordem

Considere a função f(x, y) = x²y + 3xy². Primeiro, encontramos as derivadas de primeira ordem:

    ^∂f/_∂x = 2xy + 3y²

    ^∂f/_∂y = x² + 6xy

Agora, encontramos as derivadas de segunda ordem:

    ^∂²f/_∂x² = ^∂/_∂x (2xy + 3y²) = 2y

    ^∂²f/_∂y² = ^∂/_∂y (x² + 6xy) = 6x

    ^∂²f/_∂xy = ^∂/_∂y (2xy + 3y²) = 2x + 6y

    ^∂²f/_∂yx = ^∂/_∂x (x² + 6xy) = 2x + 6y

Observamos que ^∂²f/_∂xy = ^∂²f/_∂yx, conforme previsto pelo Teorema de Schwartz.