Uma série alternada é uma série infinita cujos termos alternam em sinal.

A forma geral de uma série alternada pode ser expressa como:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n \quad \text{ou} \quad \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n $$

Onde a_n é uma sequência de termos positivos.

Exemplos

Série Alternada de Harmônicos

$$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots $$

Série Alternada de Potências

$$ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots $$

Teste da Série Alternada

O teste da série alternada (ou critério de Leibniz) fornece uma condição simples para determinar a convergência de séries alternadas. O teste estabelece que a série abaixo: $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n $$ converge se:

I) a_n é uma sequência positiva e decrescente: a_n+1 ≤ a_n para todo n ≥ 1.

II) Temos o limite: $$ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $$