As séries de Fourier são uma ferramenta poderosa na análise de funções periódicas. Elas permitem representar funções periódicas como uma soma infinita de senos e cossenos.

Dada uma função periódica f(x) com período T, a série de Fourier é dada por:

$$ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \right) $$

Onde os coeficientes a₀, a_n e b_n são determinados pelas seguintes fórmulas:

$$ a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \, dx $$
$$ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cdot \cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \, dx $$
$$ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cdot \sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right) \, dx $$

Convergência das Séries de Fourier

A convergência das séries de Fourier depende das propriedades da função f(x).

Se f(x) é contínua e possui derivadas contínuas até uma certa ordem, a série de Fourier converge uniformemente a f(x).