Teorema de Dirichlet

Se f(x) é uma função periódica de período T, segmentadamente contínua e de variação limitada, então a série de Fourier converge para f(x) em todos os pontos de continuidade de f(x) e para a média dos limites laterais nos pontos de descontinuidade.

Exemplo

Considere a função f(x) = x no intervalo [-π, π]. A série de Fourier é:

$$ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \right) \cdot \sin(nx) $$

Série de Fourier em Forma Complexa

A série de Fourier pode ser expressa em forma complexa, utilizando a relação e^ix = cos(x) + isen(x).

$$ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \cdot e^{-i \frac{2\pi nx}{T}} $$

Onde os coeficientes complexos c_n são dados por: $$ c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cdot e^{-i \frac{2\pi nx}{T}} \, dx $$

Propriedades das Séries de Fourier

As séries de Fourier possuem várias propriedades úteis:

I) Linearidade: Se f(x) e g(x) têm séries de Fourier, então a série de Fourier de af(x) + bg(x) (onde a e b são constantes) é a vezes a série de Fourier de f(x) mais b vezes a série de Fourier de g(x).