Exemplo: Verificar a convergência da série abaixo: $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} $$ I) a_n = ¹/_n é positiva e decrescente.

II) Vendo o limite: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Portanto, pela condição de Leibniz, a série é convergente.

Convergência Absoluta e Condicional

Uma série $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $$ é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos $$ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| $$ é convergente. Se uma série é absolutamente convergente, então ela é convergente.

Uma série que é convergente, mas não absolutamente convergente, é dita condicionalmente convergente.

Exemplo de Convergência Condicional

A série alternada harmônica $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} $$ é condicionalmente convergente porque a série original $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} $$ é convergente. Além disso, a série dos valores absolutos $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $$ é divergente.