Exemplo

Para a série $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n $$ (com |x| < 1):

A derivada será esta que podemos ver logo abaixo: $$ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} $$ $$ = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n = \frac{1}{(1-x)^2} $$.

Agora a integral será esta que podemos ver aqui: $$ \int f(x) \,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $$
$$ = -\ln(1-x) + C $$

Séries de Taylor e de Maclaurin

Uma série de Taylor é uma série de potências centrada em c que representa uma função f(x): $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - c)^n $$

Uma série de Maclaurin é uma série de Taylor centrada em c = 0: $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$

Exemplo

A série de Taylor para e^x centrada em c = 0 é a seguinte: $$ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$