Exemplo: Para a seguinte série que temos abaixo: $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$ teremos: $$ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{1}{n!}}{\frac{1}{(n+1)!}} \right| $$

$$ = \lim_{n \to \infty} (n+1) = \infty $$

Portanto, a série converge para todo x real ou complexo.

Diferenciação e Integração

As séries de potências podem ser diferenciadas e integradas termo a termo dentro do intervalo de convergência.

I) Diferenciação: Se $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n $$ então: $$ f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-c)^{n-1} $$

Agora veja abaixo como fazer para a integração:

II) Integração: Se $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n $$ então: $$ \int f(x) \,dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n (x - c)^{n+1}}{n+1} + C $$