Portanto, a solução particular é y_p(x) = (¹/₄)x².e^2x. A solução geral é: $$ y(x) = y_h(x) + y_p(x) $$ $$ = (C_1 + C_2 x) e^{2x} + \frac{1}{4} x^2 e^{2x} $$

Método da Variação de Parâmetros

Este método é usado para encontrar a solução particular de EDOs lineares não homogêneas quando o método dos coeficientes indeterminados não é aplicável.

Passos

1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.

2. Assumir uma forma para a solução particular com coeficientes como funções de x.

3. Substituir na equação não homogênea e resolver para os coeficientes.

Exemplo: Resolver y'' + y = tg(x): A equação homogênea correspondente é y'' + y = 0:

A solução geral da homogênea é: $$ y_h(x) = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) $$ Para a solução particular, assumimos y_p(x) = u₁(x).cos(x) + u₂(x).sen(x):

Substituindo em y'' + y = tg(x): $$ u_1' \cos(x) + u_2' \sin(x) = 0 $$ $$ -u_1' \sin(x) + u_2' \cos(x) = \tan(x) $$ Resolvendo este sistema, obtemos: $$ u_1(x) = -\ln|\sec(x) + \tan(x)| $$ $$ u_2(x) = \ln|\sec(x) + \tan(x)| $$ Portanto, a solução particular é: $$ y_p(x) = -\ln|\sec(x) + \tan(x)| \cos(x) + \ln|\sec(x) + \tan(x)| \sin(x) $$