Exemplos de EDPs Clássicas

Parabólica: Equação do Calor

A equação do calor descreve a distribuição de temperatura u(x, t) em um meio ao longo do tempo: $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right) $$ Onde α é a difusividade térmica.

Hiperbólica: Equação da Onda

A equação da onda descreve a propagação de ondas, como ondas sonoras ou de água: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right) $$ Onde c é a velocidade da onda.

Elíptica: Equação de Laplace

A equação de Laplace descreve potenciais eletrostáticos, fluxos de fluido, entre outros: $$ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 $$

Métodos de Solução de EDPs

Método da Separação de Variáveis

O método da separação de variáveis assume que a solução pode ser escrita como um produto de funções, cada uma dependendo de uma única variável: $$ u(x, t) = X(x) T(t) $$

Substituindo na EDP e separando as variáveis, obtemos duas ODEs que podem ser resolvidas independentemente.