Exemplo: Equação do Calor

Consideramos u(x, t) = X(x).T(t): $$ \frac{\partial u}{\partial t} = X(x) \frac{dT}{dt} \quad \text{e} \quad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = T(t) \frac{d^2X}{dx^2} $$ Substituindo na equação do calor, teremos o seguinte: $$ X(x) \frac{dT}{dt} = \alpha T(t) \frac{d^2X}{dx^2} $$ Dividindo ambos os lados por αX(x).T(t): $$ \frac{1}{\alpha T(t)} \frac{dT}{dt} = \frac{1}{X(x)} \frac{d^2X}{dx^2} = -\lambda $$

Isso resulta em duas ODEs, veja-as logo abaixo: $$ \frac{dT}{dt} + \alpha \lambda T = 0 \quad \text{e} \quad \frac{d^2X}{dx^2} + \lambda X = 0 $$

Transformadas Integrais

Transformadas integrais, como a transformada de Fourier e a transformada de Laplace, podem ser usadas para transformar EDPs em ODEs que são mais fáceis de resolver.

Exemplo: Transformada de Fourier na Equação da Onda - Aplicando a transformada: $$ \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} + c^2 k^2 \hat{u} = 0 $$ Onde û(k, t) é a transformada de Fourier de u(x, t).

Método das Diferenças Finitas

O método das diferenças finitas aproxima as derivadas parciais por diferenças finitas, permitindo a solução numérica das EDPs.