Exemplos

I) A sequência a_n = ¹/_n tem limite 0, ou seja, temos que: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

II) A sequência a_n = n não tem limite finito, pois cresce indefinidamente.

Propriedades das Sequências Convergentes

As sequências convergentes possuem várias propriedades importantes que ajudam a analisar seu comportamento.

Unicidade do Limite: Se uma sequência {a_n} converge para um limite L, então L é único.

Preservação de Operações: Se {a_n} e {b_n} são sequências convergentes com limites A e B, respectivamente, então:

$$ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = A + B $$

$$ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B $$

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B} $$

Sequência Substituta: Se uma sequência {a_n} converge para L e f é uma função contínua, então {f(a_n)} converge para f(L).

Sequências Monótonas e Limitadas

Uma sequência é monótona se é sempre crescente ou sempre decrescente.

Ela é limitada se todos os seus termos estão dentro de um intervalo finito.