Propriedades das Séries Convergentes

As séries convergentes possuem propriedades importantes que ajudam a entender seu comportamento.

Linearidade: Se: $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \quad \text{e} \quad \sum_{n=1}^{\infty} b_n $$ são séries convergentes, então: $$ \sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n) \quad \text{e} \quad \sum_{n=1}^{\infty} (c \cdot a_n) $$ onde c é uma constante também são convergentes.

Termos Negligenciáveis: Adicionar ou remover um número finito de termos não afeta a convergência de uma série.

Testes de Convergência

Teste da Comparação: Compara uma série $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $$ com uma série $$ \sum_{n=1}^{\infty} b_n $$ conhecida.

Se 0 ≤ a_n ≤ b_n e se a somatória que vemos aqui embaixo: $$ \sum_{n=1}^{\infty} b_n $$ é convergente, então: $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $$ também é convergente.

Agora, se a_n ≥ b_n e, da mesma maneira, se a somatória de b_n é divergente, então a de a_n também será divergente.