Matriz de Mudança de Base

As coordenadas de um mesmo vetor em duas bases diferentes relacionam-se por meio de uma matriz invertível.

$$ [\mathbf{v}]_B = M\,[\mathbf{v}]_{B'} $$

As colunas de M são as coordenadas dos vetores da base nova escritos na base antiga.

Matriz Inversa

A mudança no sentido contrário é realizada pela matriz inversa.

$$ [\mathbf{v}]_{B'} = M^{-1}[\mathbf{v}]_B $$

A matriz de mudança de base é sempre invertível, pois suas colunas são linearmente independentes.

Bases Ortonormais

Quando ambas as bases são ortonormais, a matriz de mudança é ortogonal.

Nesse caso, a inversa coincide com a transposta, o que simplifica enormemente os cálculos.