Álgebra Linear |
Introdução
Neste módulo estudaremos como vetores podem ser construídos a partir de outros vetores, um dos conceitos centrais da álgebra linear.
A ideia de combinação linear permite descrever conjuntos inteiros de vetores a partir de poucos elementos geradores.
Esse ponto de vista será essencial para compreender bases, dimensão e sistemas de coordenadas.
Definição
Dados os vetores v1, v2, ..., vn e escalares reais a1, ..., an, chamamos de combinação linear o vetor obtido pela soma dos produtos de cada vetor pelo seu escalar.
$$ \mathbf{u} = a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \cdots + a_n\mathbf{v}_n $$
Os escalares ai são chamados de coeficientes da combinação linear.
Interpretação Geométrica
A combinação linear de um único vetor não nulo gera uma reta que passa pela origem.
A combinação linear de dois vetores não paralelos gera um plano que passa pela origem.
Três vetores não coplanares geram todo o espaço tridimensional.