Definição

Uma forma quadrática é uma função polinomial homogênea de segundo grau nas coordenadas.

$$ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} $$

A matriz A pode sempre ser escolhida simétrica.

Redução aos Eixos Principais

Aplicando o teorema espectral, eliminamos os termos mistos da forma quadrática.

$$ Q = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2 $$

Esse é o fundamento algébrico da classificação de cônicas e quádricas vista na Álgebra Linear I.

Classificação

A forma é positiva definida quando todos os autovalores são positivos e negativa definida quando todos são negativos.

Quando há autovalores de sinais opostos, a forma é indefinida.