Álgebra Linear |
Definição
Um produto interno associa a cada par de vetores um número real, satisfazendo simetria, linearidade e positividade.
$$ \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle $$
O produto escalar usual é apenas um exemplo dentre muitos possíveis.
Norma e Distância
A norma de um vetor é definida a partir do produto interno consigo mesmo.
$$ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} $$
A distância entre dois vetores é a norma da diferença entre eles.
Desigualdades Clássicas
A desigualdade de Cauchy-Schwarz limita o produto interno pelo produto das normas.
$$ |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| $$
Dela decorre a desigualdade triangular, que garante a coerência geométrica da noção de distância.