Definição

Uma transformação entre espaços vetoriais é linear quando preserva somas e múltiplos escalares.

$$ T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) $$

$$ T(\alpha\mathbf{u}) = \alpha\,T(\mathbf{u}) $$

Consequências Imediatas

Toda transformação linear leva o vetor nulo no vetor nulo.

Ela também preserva combinações lineares inteiras, o que permite determiná-la apenas pelos valores nos vetores de uma base.

Exemplos Geométricos

Rotações, reflexões, projeções e homotetias no plano e no espaço.

A derivação e a integração definida, no espaço dos polinômios, também são transformações lineares.