Conjuntos Ortogonais

Um conjunto é ortogonal quando seus vetores são mutuamente ortogonais, e ortonormal quando além disso são unitários.

Todo conjunto ortogonal de vetores não nulos é automaticamente linearmente independente.

Processo de Gram-Schmidt

O processo transforma uma base qualquer em uma base ortogonal, subtraindo sucessivamente as projeções já calculadas.

$$ \mathbf{w}_k = \mathbf{v}_k - \sum_{i < k} \frac{\langle \mathbf{v}_k, \mathbf{w}_i \rangle}{\|\mathbf{w}_i\|^2}\,\mathbf{w}_i $$

Normalizando os vetores obtidos, chega-se a uma base ortonormal.

Projeção sobre Subespaços

A projeção ortogonal de um vetor sobre um subespaço é a soma das projeções sobre os vetores de uma base ortogonal dele.

Essa projeção é o elemento do subespaço mais próximo do vetor dado.