Definição

Um subconjunto não vazio de um espaço vetorial é um subespaço quando é fechado para a soma e para a multiplicação por escalar.

Verificadas essas duas condições, todos os demais axiomas são herdados automaticamente.

Critério Prático

Basta checar se o vetor nulo pertence ao conjunto e se combinações lineares de seus elementos permanecem nele.

$$ \mathbf{u},\mathbf{v} \in W,\; \alpha \in \mathbb{R} \Rightarrow \mathbf{u} + \alpha\mathbf{v} \in W $$

Exemplos

Retas e planos que passam pela origem são subespaços do espaço tridimensional.

O conjunto das matrizes simétricas é subespaço do espaço das matrizes quadradas.

O conjunto solução de um sistema homogêneo é sempre um subespaço.